Teorema lui Thales
Te-ai întrebat vreodată cum poți calcula lungimi în triunghiuri fără riglă? Sau cum știi că anumite drepte sunt paralele doar uitându-te la proporții?
Ei bine, răspunsul stă într-o teoremă simplă și genială: Teorema lui Thales. În rândurile de mai jos, vei descoperi ce este, cum funcționează și cum îți poate face viața mai ușoară la matematică. Promitem: fără formule complicate, doar explicații pe limba ta și exemple care chiar au sens!
Teorema lui Thales ne spune că
Dacă trei sau mai multe drepte paralele sunt tăiate de două drepte secante, atunci segmentele determinate pe una dintre secante sunt proporționale cu segmentele determinate pe cealaltă secantă.
Exemple de aplicații ale teoremei
Imaginează-ți trei drepte paralele notate cu d1, d2, d3. Acestea sunt tăiate de două drepte oblice (care nu sunt paralele), iar pe cele două drepte se formează segmente.
Dacă pe prima secantă avem segmentele AB și BC, iar pe a doua secantă segmentele A'B' și B'C', atunci teorema spune că:
Segmente proporționale
Ce înseamnă segmente proporționale? Două segmente sunt proporționale dacă lungimile lor respectă aceeași raport. De exemplu, dacă AB = 3 cm, BC = 6 cm, și dacă A'B' = 5 cm, atunci B'C' va trebui să fie 10 cm, pentru a respecta proporția:
Reciproca teoremei lui Thales
Reciproca teoremei lui Thales este foarte utilă pentru a demonstra că două drepte sunt paralele, pe baza proporționalității segmentelor formate de ele.
Aceasta ne spune:
Dacă două drepte secante sunt tăiate de mai multe drepte astfel încât segmentele de pe una dintre secante sunt proporționale cu celelalte, atunci dreptele care le taie sunt paralele.
-
Demonstrăm paralelismul
Când nu ni se spune că două drepte sunt paralele, dar avem segmente proporționale, putem folosi reciproca pentru a demonstra că sunt paralele. -
Rezolvăm probleme inverse
În multe exerciții, ni se dau lungimi și ni se cere să demonstrăm că o dreaptă este paralelă cu o latură a triunghiului – aici intră în scenă reciproca teoremei lui Thales. -
Verificăm corectitudinea unei construcții geometrice
Putem verifica dacă o dreaptă a fost trasată corect paralel cu alta, comparând segmentele de pe laturile opuse.
Întrebări frecvente
Cum recunosc o problemă în care trebuie să aplic Teorema lui Thales?
Dacă într-o problemă ai un triunghi și o dreaptă paralelă cu una dintre laturile lui, iar aceasta taie celelalte două laturi, atunci e foarte posibil să folosești Teorema lui Thales pentru a compara segmentele formate.
Ce înseamnă că două segmente sunt proporționale?
Înseamnă că au aceeași „scară” de comparație. De exemplu, dacă un segment e de două ori mai lung decât altul, atunci orice alt segment construit în același mod va păstra același raport.
Pot folosi Teorema lui Thales și dacă nu am toate lungimile cunoscute?
Da, atâta timp cât ai suficiente informații pentru a scrie un raport între segmentele corespunzătoare, poți folosi proporțiile pentru a calcula lungimi lipsă.
Ce greșeli apar frecvent când aplicăm Teorema lui Thales?
Greșelile frecvente sunt:
- confundarea segmentelor care trebuie puse în raport,
- aplicarea teoremei când dreapta nu este paralelă,
- uitarea unităților de măsură sau amestecarea lor.
Unde aplicăm teorema lui Thales?
Teorema lui Thales este utilă atunci când:
- vrem să aflăm lungimea unui segment necunoscut;
- lucrăm cu triunghiuri și drepte paralele;
- avem de demonstrat proporționalitatea între segmente.
Teorema lui Thales se aplică doar în triunghiul dreptunghic?
Nu. Există mai multe confuzii pe această temă. Confuzia este produsă de Cercul lui Thales (un caz special cu triunghi dreptunghic). Totuși, noi aici vorbim despre teorema lui Thales (cea legată de proporții).
Deci, nu te limita la triunghiurile dreptunghice când aplici Teorema lui Thales în problemele cu proporții.
Cum pot verifica dacă am aplicat corect teorema?
Poți verifica dacă raporturile pe care le-ai scris sunt egale și dacă ai respectat corect ordinea segmentelor în raporturi. De asemenea, verifică dacă dreapta folosită este paralelă cu baza triunghiului.
