Suma lui Gauss

Ți s-a întâmplat vreodată să trebuiască să aduni multe numere la rând și să simți că îți ia o veșnicie? Ce-ai zice dacă ți-aș arăta un truc genial care face asta în câteva secunde?

Azi descoperim suma lui Gauss – o metodă super deșteaptă, inventată de un băiat de doar 10 ani, care a lăsat profesorii cu gura căscată! Hai să vezi cât de simplu și util poate fi!

Suma lui Gauss este o metodă rapidă și inteligentă de a aduna numerele naturale consecutive, cum ar fi: 1 + 2 + 3 + 4 + … + n. Această metodă a fost descoperită de matematicianul german Carl Friedrich Gauss, pe când era doar un copil. Legenda spune că a uimit profesorul adunând rapid numerele de la 1 la 100!

Formule

Putem aplica formula simplă, pentru numere consecutive, numere impare consecutive sau numere pare consecutive.

Formula pentru numere consecutive

Varianta cea mai simplă este

$Suma = frac{ntimes (n+1)}{2}$

Aici n reprezintă ultimul număr din acest șir.

Exemplu: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 5 × (5 + 1) / 2 = 15

Formula pentru numere impare consecutive

$Suma = n^2$

Aici n reprezintă numărul total de numere impare

Exemplu: 1 + 3 + 5 = 3 numere → 3² = 9

Formula pentru numere impare consecutive

$S = ntimes(n+1)$

Aici n reprezintă numărul total de numere pare.

Exemplu: 2 + 4 + 6 + 8 = 4 numere → 4 × (4 + 1) = 20

Fiecare tip de număr are o formulă diferită, dar toate sunt ușor de memorat și au un tipar logic.

Exemple

Calcularea sumei numerelor de la 1 la 20

1 + 2 + 3 + … + 20 = ?

Folosim formula lui Gauss

$Suma = frac{20times(20+1)}{2} = frac{20times21}{2} = frac{420}{2} = 210$

Deci rezultatul este 210.

Calcularea sumei numerelor de la 1 la 50

1 + 2 + 3 + … + 50 = ?

$Suma = frac{50times(50+1)}{2} = frac{50times51}{2} = frac{2550}{2} = 1275$

Suma numerelor de la 1 la 50 este 1275.

Întrebări frecvente

Cine a fost Gauss și de ce are o sumă care-i poartă numele?

Gauss a fost un copil genial care, pe când avea doar 9 – 10 ani (1787) , a uimit pe toată lumea rezolvând rapid o sumă lungă de numere. A găsit o metodă simplă și rapidă, iar profesorii l-au ținut minte pentru asta.

Când folosim suma lui Gauss?

Această formulă este foarte utilă în multe situații:

Când vrei să aduni rapid numere consecutive
În probleme de matematică de tip: „Câte puncte a obținut elevul dacă a primit câte 1 punct în fiecare zi timp de 30 de zile?”
În jocuri, concursuri sau statistici simple

Cum aflăm numărul de termeni dintr-un șir?

Pentru clasa a V-a este în general ușor să aflăm numărul de termeni, însă dacă este o situație mai specială, atunci avem:

Exemplul 1

Notăm

primul termen a1
rația r
ultimul termen an

Șirul:

5 + 6 + 7 + … + 846

a1=5a_1 = 5a1=5
an=846a_n = 846an=846
Rația r=1r = 1r=1

Aplicăm formula:

$n = frac{846 – 5}{1} + 1 = 841 + 1 = 842$

deci avem un număr de 842 de termeni.

Asta pentru că numerele sunt consecutive. Totuși, în exemplul 2 lucrurile sunt diferite:

Exemplul 2

Aici trebuie să verificăm dacă e într-adevăr aritmetic!

Termenii: 5,6,8
→ Nu e o progresie aritmetică standard. Diferențele sunt 1 și apoi 2.

Nu putem aplica formula lui Gauss decât dacă șirul e aritmetic (rația constantă).

Exemplul 3

Dacă avem șirul: 3 + 6 + 9 + … + 150

Notăm

a1 = 3
an = 150
Rația r = 3

$n = frac{150 – 3}{3} + 1 = frac{147}{3} + 1 = 49 + 1 = 50$

Deci avem un total de 50 de termeni

Pot face o problemă cu această sumă la Evaluarea Națională?

Da! Apare uneori în probleme de tip „sumă de numere naturale consecutive”. Dacă înveți metoda, poți câștiga timp prețios la examen.

Funcționează și dacă încep de la alt număr, nu de la 1?

Da! De exemplu: dacă vrei să aduni de la 5 la 20, primul număr e 5, ultimul e 20 și sunt 16 numere.
Folosim formula: (5 + 20) × 16 / 2 = 200

Trebuie să învăț pe de rost formula?

Nu neapărat, dar e bine să o știi:

Suma = (primul număr + ultimul număr) × numărul de perechi / 2

Dacă numeri de la 1 la 100, sunt 100 numere, deci 50 perechi.

Care e secretul metodei lui Gauss?

Gauss a observat că dacă aduni primul număr cu ultimul, apoi al doilea cu penultimul, obții mereu aceeași sumă. De exemplu:
1 + 10 = 11,
2 + 9 = 11,
3 + 8 = 11…

Și a făcut o formulă simplă pentru a obține rezultatul imediat.

Trimite pe