Teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora este vedeta din triunghiul dreptunghic având o suită de aplicații care ne „scot din probleme foarte dificile”. Este un concept fundamental în matematică și studiat de către elevi chiar din clasele gimnaziale.

Teorema este esențială în aplicații practice de zi cu zi precum construcții, informatică, arhitectură, artă ș.a.m.d.

Totuși să aflăm exact ce este Teorema lui Pitagora și la ce ne folosește. Ea sună în felul următor:

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei

Formula teoremei lui Pitagora

Un enunț scurt și la obiect al teoremei arată așa:

△ABC

AB = a
AC = b
BC = c

AB² + AC² = BC²

c² = a² + b²

c este lungimea ipotenuzei,
a și b sunt lungimile catetelor.

Exemplu simplu de aplicare

Să presupunem că avem un triunghi dreptunghic cu catetele de 3 cm și 4 cm. Vrem să aflăm lungimea ipotenuzei.

$c^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9+16 = 25$ $c= sqrt{25} = 5$

Astfel, ipotenuza are 5 cm.

Reciproca teoremei lui Pitagora / inversul teoremei

Teorema lui Pitagora funcționează și invers.

Dacă într-un triunghi, suma pătratelor a două laturi este egală cu pătratul celei de-a treia, atunci triunghiul este dreptunghic.

Calcularea distanței dintre două puncte într-un plan cartezian

Calcularea distanței dintre două puncte într-un plan cartezian este o aplicație directă a Teoremei lui Pitagora și este folosită pentru a afla cât de departe sunt două puncte unul față de celălalt într-un sistem de coordonate (adică un plan definit de axele X și Y).

Ce este planul cartezian?

Planul cartezian este o rețea formată din două axe perpendiculare:

axa OX (orizontală) – reprezintă valorile lui x
axa OY (verticală) – reprezintă valorile lui y

Un punct în acest plan este reprezentat de o pereche ordonată de forma (x, y).

Aceasta este, de fapt, o aplicare a Teoremei lui Pitagora:

(x2−x1)(x_2 – x_1)(x2−x1) este „cateta” pe axa X
(y2−y1)(y_2 – y_1)(y2−y1) este „cateta” pe axa Y
iar d este ipotenuza – adică distanța dintre puncte

Formula distanței dintre două puncte

Pentru două puncte:

Punctul A: (x₁, y₁)
Punctul B: (x₂, y₂)

Formula distanței dintre ele este:

$d = sqrt{(x_{2} – x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{2})^2}$

Întrebări frecvente

La ce ne folosește teorema lui Pitagora?

Teorema este folosită frecvent pentru a calcula lungimea unei laturi necunoscute într-un triunghi dreptunghic, pentru a verifica dacă un triunghi este dreptunghic și în aplicații practice din viața reală, cum ar fi măsurători, arhitectură sau programare.

De asemenea, ea este foarte utilă pentru navigație și GPS, aplicații de arte, calculul distanței dintre două puncte într-un plan (2D) sau spațiu (3D).

Cine a descoperit această teoremă?

După cum sugerează și numele, teorema a fost atribuită matematicianului grec numit Pitagora. Totuși, se pare că aceasta e cunoscută din timpuri chiar mai vechi, civilizații precum babilonienii folosind această teoremă cu mult înainte de Pitagora.

Cum pot afla dacă un triunghi este dreptunghic?

Simplu! Dacă aplici formula c² = a² + b² și egalitatea este adevărată, atunci triunghiul este dreptunghic. Aceasta este și o metodă de verificare.

Este teorema lui Pitagora aplicabilă în orice triunghi?

Nu, teorema lui Pitagora se aplică doar în triunghiul dreptunghic. Însă vei fi foarte surprins(ă) să afli că un triunghi dreptunghic apare atunci când te aștepți mai puțin ca să salveze situația.

Cum pot afla o catetă dacă știu ipotenuza și pe cealaltă catetă?

Trebuie să folosești formula inversă:

$a = sqrt{c^{2}-b^{2}}$

$b = sqrt{c^{2} – a^{2}}$

Trimite pe