Criteriile de divizibilitate
Ți-ai dorit vreodată să știi dintr-o privire dacă un număr se împarte exact, fără să te apuci de împărțit pe hârtie sau la calculator?
Imaginează-ți că ai o superputere matematică prin care poți „citi” un număr și să știi imediat dacă merge la 2, 3, 5 sau altceva!
Această superputere există și se numește criteriu de divizibilitate. Sunt niște reguli simple și rapide care îți spun dacă un număr poate fi împărțit fără rest – ca și cum ai avea un detector de împărțiri perfecte în buzunar!
Criteriile de divizibilitate sunt reguli matematice care ne ajută să verificăm dacă un număr natural se împarte exact (adică fără rest) la un alt număr, fără să facem efectiv împărțirea.
Cele mai importante criterii
Există criterii de divizibilitate de la 2 la 10ⁿ însă pentru școala gimnazială este recomandat să le știi doar pe cele cu 2, 3, 4, 5, 6, 9 și 10 ori 10ⁿ.
Acestea sunt foarte utile pentru calcule rapide în probleme de aritmetică și învățarea numerelor prime
Cele mai dificile sunt criteriile de divizibilitate cu 7,11 și 13 care sunt mai complicate, se bazează pe trucuri sau reguli speciale.
Criteriul de divizibilitate cu 2
Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8.
Exemple:
- 24 → se termină în 4 → divizibil cu 2
- 108 → se termină în 8 → divizibil cu 2
- 562 → se termină în 2 → divizibil cu 2
- 370 → se termină în 0 → divizibil cu 2
- 49 → se termină în 9 → nu e divizibil cu 2
Criteriul de divizibilitate cu 3
Un număr este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor numărului este divizibilă cu 3.
Exemple:
- 123 → 1+2+3 = 6 → divizibil cu 3
- 81 → 8+1 = 9 → divizibil cu 3
- 402 → 4+0+2 = 6 → divizibil cu 3
- 75 → 7+5 = 12 → divizibil cu 3
- 58 → 5+8 = 13 → nu e divizibil cu 3
Criteriul de divizibilitate cu 4
Un număr este divizibil cu 4 dacă și numai dacă ultimele două cifre formează un număr divizibil cu 4.
- 316 → 16 este divizibil cu 4 → divizibil cu 4
- 400 → 00 = 0 → divizibil cu 4
- 148 → 48 → divizibil cu 4
- 124 → 24 → divizibil cu 4
- 527 → 27 → nu e divizibil cu 4
Criteriul de divizibilitate cu 5
Un număr este divizibil cu 5 dacă și numai dacă are ultima cifră 0 sau 5.
Exemple:
- 45 → divizibil cu 5
- 100 → divizibil cu 5
- 85 → divizibil cu 5
- 220 → divizibil cu 5
- 73 → nu e divizibil cu 5
Criteriul de divizibilitate cu 6
Un număr este divizibil cu 6 dacă și numai dacă acesta este divizibil și cu 2 și cu 3.
Exemple:
- 18 → divizibil cu 6
- 42 → divizibil cu 6
- 60 → divizibil cu 6
- 84 → divizibil cu 6
- 25 → nu e divizibil cu 6
Criteriul de divizibilitate cu 7
Nu există un criteriu simplu vizual, dar în general se testează împărțind numărul la 7 sau folosind reguli speciale (mai rar folosit în gimnaziu).
Exemple:
- 49 → divizibil cu 7
- 84 → divizibil cu 7
- 91 → divizibil cu 7
- 105 → divizibil cu 7
- 50 → nu e divizibil cu 7
Criteriul de divizibilitate cu 8
Un număr este divizibil cu 8 dacă și numai dacă ultimele trei cifre formează un număr divizibil cu 8 (sau dacă numărul este mai mic, direct împărțit la 8).
Exemple:
- 64 → divizibil cu 8 (punem 0 dacă nu există a 3-a cifra)
- 120 → divizibil cu 8
- 512 → divizibil cu 8
- 1000 → divizibil cu 8
- 74 → nu e divizibil cu 8
Criteriul de divizibilitate cu 9
Un număr este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor este divizibilă cu 9.
Exemple:
- 18 → divizibil cu 9 (1 + 8 = 9)
- 72 → divizibil cu 9 (7 + 2 = 9)
- 81 → divizibil cu 9 (8 + 1 = 9)
- 117 → divizibil cu 9 (1 + 1 + 7 = 9)
- 45 → nu e divizibil cu 9 (4 + 5 = 9, dar 45 nu se împarte exact la 9) ← corect este: divizibil cu 9, deci îl putem înlocui:
- 46 → nu e divizibil cu 9
Criteriul de divizibilitate cu 10
Un număr este divizibil cu 10 dacă se termină în 0.
Exemple:
- 40 → divizibil cu 10
- 100 → divizibil cu 10
- 230 → divizibil cu 10
- 560 → divizibil cu 10
- 33 → nu e divizibil cu 10
Criteriul de divizibilitate cu 10ⁿ (ex: 100, 1000 etc.)
Un număr este divizibil cu 10ⁿ dacă se termină în n zerouri.
Exemple pentru 10² = 100:
- 100 → divizibil cu 100
- 500 → divizibil cu 100
- 1200 → divizibil cu 100
- 30000 → divizibil cu 100
- 450 → nu e divizibil cu 100
Exemple pentru 10³ = 1000:
- 1000 → divizibil cu 1000
- 5000 → divizibil cu 1000
- 12000 → divizibil cu 1000
- 30000 → divizibil cu 1000
- 3450 → nu e divizibil cu 1000
Criteriul de divizibilitate cu 25
Un număr este divizibil cu 25 dacă și numai dacă ultimele două cifre ale numărului formează un număr divizibil cu 25.
Deci dacă ultimele două cifre sunt 00, 25, 50 sau 75.
Exemple:
- 100 → divizibil cu 25
- 125 → divizibil cu 25
- 250 → divizibil cu 25
- 775 → divizibil cu 25
- 132 → nu e divizibil cu 25
Întrebări frecvente
De ce este important să știm criteriile de divizibilitate?
Criteriile de divizibilitate ne ajută să verificăm rapid dacă un număr se împarte exact la altul, fără să facem calculul complet. Sunt utile la împărțiri, simplificări de fracții, factorizări sau teste grilă cu timp limitat.
Criteriul de divizibilitate cu 7 este mai complicat. De ce?
Pentru că nu se bazează pe cifrele finale ale numărului, ca în cazul lui 2, 5 sau 10. Criteriul pentru 7 presupune o operație specială (scădere, multiplicare) care implică mai multă gândire. De aceea este considerat „mai special” sau „mai greu de aplicat mental”.
Pot exista numere care respectă mai multe criterii în același timp?
Da! De exemplu, 90 este divizibil atât cu 2, cât și cu 3, cu 5, dar și cu 10. Unele numere au mai mulți divizori, iar criteriile de divizibilitate ajută să-i identificăm rapid.
Ce fac dacă un număr are mai puține cifre decât cere un criteriu? (de exemplu, pentru 8 trebuie ultimele 3 cifre)
Dacă numărul are doar 1 sau 2 cifre, atunci consideri că lipsesc cifrele și le completezi cu zero la stânga. De exemplu, pentru 64 (2 cifre), aplici criteriul pentru 008 → adică 64.
Se aplică aceste criterii și la numere negative?
Da! Criteriile de divizibilitate se aplică și numerelor negative. Trebuie doar să ignori semnul și să analizezi valoarea absolută.
De ce unele criterii se referă la „suma cifrelor”?
Pentru că aceste reguli folosesc proprietăți matematice ale numerelor în baza 10. De exemplu, suma cifrelor ne arată dacă numărul este divizibil cu 3 sau 9, datorită modului în care se formează multiplii acestor numere.
Care este cel mai ușor criteriu de reținut?
Cel pentru 10 – un număr este divizibil cu 10 dacă se termină în 0. Este simplu, vizual și intuitiv.
Criteriul pentru 25 este des întâlnit?
Da, mai ales la bani (ex. 25 bani, 50 bani). Se folosește în probleme cu divizibilitate legate de monede, prețuri sau măsurători exprimate în sferturi.
Pot crea propriile mele trucuri pentru divizibilitate?
Absolut! Dacă observi un model sau o regulă care funcționează pentru anumite numere, o poți folosi ca un truc personal, atât timp cât e corect. Așa înveți să gândești logic și să te bucuri de matematică!
