Divizibilitatea
Ai idee de ce unele numere „se împart frumos”, fără rest, iar altele nu? Asta se întâmplă din cauza divizibilității – o regulă simplă, dar foarte importantă în matematică.
În acest articol, vei descoperi ce înseamnă să fie un număr „divizibil”, cum recunoști rapid astfel de numere și la ce ne ajută aceste cunoștințe în viața de zi cu zi. Hai să facem matematica mai ușoară, pas cu pas!
Divizibilitatea este un concept important în matematică, pe care îl folosim mai des decât ne dăm seama. Fie că împărțim bomboane cu prietenii sau rezolvăm exerciții la clasă, ideea de divizibilitate ne ajută să înțelegem cum se împart numerele între ele.
Ce înseamnă că un număr este divizibil?
Un număr A este divizibil cu un număr B dacă, atunci când îl împărțim pe A la B, rezultatul este un număr întreg, fără rest.
Exemplu simplu:
- 12 este divizibil cu 3, pentru că 12 : 3 = 4 (fără rest).
- 15 NU este divizibil cu 4, pentru că 15 : 4 = 3 și rest 3.
Exemplu
- 3485 :1 = 3485 (fără rest)
- 9578392 : 1 = 9578392 (fără rest)
Orice număr natural se împarte exact la 1. Deci orice număr este divizibil cu 1.
Divizorul
- Un divizor al unui număr este oricare alt număr care îl împarte exact, adică fără rest.
Exemplu:
- Divizorii lui 12 sunt: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Pentru că toate aceste numere împart 12 fără să lase rest: - 12 ÷ 3 = 4 (fără rest) → deci 3 este divizor al lui 12.
Divizorul comun
Un divizor comun al două sau mai multe numere este un număr care divide exact toate acele numere, fără să lase rest.
Cu alte cuvinte, este un număr care se regăsește în lista de divizori ai fiecărui număr dat.
Cum îl găsim?
- Găsim toți divizorii fiecărui număr.
- Verificăm care sunt comuni în toate listele.
- Cel mai mare dintre ei se numește cel mai mare divizor comun (CMDC), dar uneori ne interesează toți divizorii comuni, nu doar cel mai mare.
Exemple de divizori comuni:
- Pentru 12 și 18:
-
Divizorii lui 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
-
Divizorii lui 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
→ Divizori comuni: 1, 2, 3, 6
- Pentru 20 și 30:
- Divizorii lui 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
- Divizorii lui 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
→ Divizori comuni: 1, 2, 5, 10
- Pentru 8 și 14:
- Divizorii lui 8: 1, 2, 4, 8
- Divizorii lui 14: 1, 2, 7, 14
→ Divizori comuni: 1, 2
- Pentru 9 și 27:
- Divizorii lui 9: 1, 3, 9
- Divizorii lui 27: 1, 3, 9, 27
→ Divizori comuni: 1, 3, 9
- Pentru 16 și 24:
- Divizorii lui 16: 1, 2, 4, 8, 16
- Divizorii lui 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
→ Divizori comuni: 1, 2, 4, 8
Este un concept foarte util în problemele cu fracții, simplificări, cel mai mare divizor comun (CMDC) sau probleme cu împărțiri egale.
Multiplul unui număr
- Un multiplu al unui număr este rezultatul înmulțirii acelui număr cu orice număr natural.
Exemplu:
- Multiplii lui 4 sunt: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
Pentru că:
- 4 × 1 = 4
- 4 × 2 = 8
- 4 × 3 = 12
… și așa mai departe.
Legătura dintre divizor și multiplu:
- Dacă 6 este divizor al lui 18, atunci 18 este multiplu al lui 6.
Asta înseamnă că:
- 18 ÷ 6 = 3 (deci 6 este divizor al lui 18)
- 6 × 3 = 18 (deci 18 este multiplu al lui 6)
Criteriile de divizibilitate
Criteriile de divizibilitate sunt niște reguli simple care ne ajută să aflăm fără să facem împărțirea dacă un număr se împarte exact (fără rest) la alt număr.
Pe scurt, iată câteva criterii importante:
-
Divizibil cu 2 – dacă ultima cifră este pară (0, 2, 4, 6, 8).
Ex: 48 se împarte la 2, pentru că se termină cu 8. -
Divizibil cu 3 – dacă suma cifrelor este divizibilă cu 3.
Ex: 123 → 1 + 2 + 3 = 6 → se împarte la 3. -
Divizibil cu 4 – dacă ultimele două cifre formează un număr divizibil cu 4.
Ex: 312 → ultimele două cifre: 12 → 12 se împarte la 4. -
Divizibil cu 5 – dacă ultima cifră este 0 sau 5.
Ex: 75 se împarte la 5, pentru că se termină cu 5. -
Divizibil cu 6 – dacă se împarte și la 2, și la 3.
Ex: 48 → se împarte la 2 (ultimă cifră pară) și la 3 (4 + 8 = 12). -
Divizibil cu 9 – dacă suma cifrelor este divizibilă cu 9.
Ex: 729 → 7 + 2 + 9 = 18 → se împarte la 9. -
Divizibil cu 10 – dacă ultima cifră este 0.
Ex: 340 se împarte la 10.
Aceste reguli ne ajută să lucrăm mai repede cu numerele, mai ales în problemele de matematică!
Întrebări frecvente
Cum ne ajută divizibilitatea? La ce ne ajută să știm dacă un număr este divizibil cu altul?
Divizibilitatea ne este de folos în mai multe situații:
- La împărțirea obiectelor în mod egal (fără să rămână ceva pe dinafară)
- La simplificarea fracțiilor (pentru a le face mai ușor de înțeles sau de calculat)
- La găsirea divizorilor sau multiplilor unui număr
- La rezolvarea problemelor de tipul „câte grupuri putem face”
- La verificarea corectitudinii unor calcule
Cum îmi dau seama dacă un număr se împarte exact la altul?
Verifici dacă împărțirea se face fără rest. De exemplu, 12 împărțit la 3 este 4, fără rest – deci 12 se împarte exact la 3. Poți folosi și criteriile de divizibilitate pentru a te ajuta, mai ales când ai de-a face cu numere mari.
Care sunt cele mai simple criterii de divizibilitate?
Cele mai ușoare reguli sunt:
- un număr se împarte la 2 dacă este par
- se împarte la 5 dacă se termină în 0 sau 5
- se împarte la 10 dacă se termină în 0
Acestea sunt rapide și ușor de verificat cu ochiul liber.
Pot învăța pe de rost toate criteriile de divizibilitate?
Da, și este chiar recomandat! Criteriile pentru 2, 3, 5, 9 și 10 sunt ușor de memorat. Celelalte, cum sunt pentru 7 sau 11, sunt puțin mai complicate, dar pot fi învățate prin exerciții și exemple.
Ce înseamnă cele 3 puncte pe verticală?
Cele 3 puncte (⋮) se folosesc pentru a nota faptul că un număr este divizibil cu un altul, sau pentru a arăta că un număr este un multiplu al unui alt număr.
Cel mai adesea vei întâlni acest simbol în exercițiile de divizibilitate, probleme cu multiplii și divizori sau în demonstrații matematice. Este o scriere rapidă a relațiilor de divizibilitate.
Exemplu:
„Dacă n este divizibil cu 2 și cu 5, scriem:
n ⋮ 2 și n ⋮ 5.”
