Numerele prime
Fie că vorbim de 2, 3, 5 sau de 7, acestea sunt considerate speciale în matematică. Ei bine, ele fac parte dintr-un club VIP al numerelor – clubul numerelor prime! Hai să vedem împreună ce înseamnă un număr prim și cum îl recunoști rapid, fără bătăi de cap.
Un număr prim este un număr natural mai mare decât 1, care are exact doi divizori: 1 și el însuși. Asta înseamnă că nu poate fi împărțit exact decât la 1 și la el însuși. Niciun alt număr nu se potrivește ca divizor! (mai multe la divizibilitate)
Exemple de numere prime
| Număr | Divizori |
|---|---|
| 2 | 1 și 2 |
| 3 | 1 și 3 |
| 5 | 1 și 5 |
| 7 | 1 și 7 |
- 2 este singurul număr prim par. Toate celelalte numere pare se pot împărți la 2. Numerele prime sunt baza criptării și a securității pe internet. Da, chiar și în tehnologie sunt utile!
Cum verifici dacă un număr este număr prim?
- Vezi dacă este mai mic sau egal cu 1 – dacă da, nu este prim.
- Verifică dacă are alți divizori în afară de 1 și el.
- Dacă nu poți împărți exact decât la 1 și la el însuși, atunci e prim.
Exemplu practic: Este 11 prim?
- Îl împărțim la 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 – niciuna nu dă un rezultat exact.
- Doar 1 și 11 sunt divizori → DA, 11 este un număr prim!
Numerele prime între ele
Ce sunt, cum le recunoaștem și cum le folosim? Când sunt 2 numere prime între ele?
Două numere sunt prime între ele (sau coprime) dacă cel mai mare divizor comun (cmmdc) al lor este 1.
Exemplu simplu:
Să luăm numerele 8 și 15.
- Divizorii lui 8: 1, 2, 4, 8
- Divizorii lui 15: 1, 3, 5, 15
Cel mai mare divizor comun este 1, deci:
8 și 15 sunt prime între ele.
Două numere nu trebuie să fie numere prime ca să fie prime între ele.
Ele pot fi numere compuse, atâta timp cât nu au divizori comuni în afară de 1.
Exemplu:
- 9 și 16 sunt ambele numere compuse:
- Divizorii lui 9: 1, 3, 9
- Divizorii lui 16: 1, 2, 4, 8, 16
cmmdc(9, 16) = 1 ⇒ Prime între ele!
Cum verifici dacă două numere sunt prime între ele?
- Descompune în factori primi fiecare număr.
- Compară factorii – dacă nu au niciun factor prim comun, sunt prime între ele.
Exemplu:
- 35 = 5 × 7
- 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Niciun factor prim comun → Prime între ele
Numerele prime între ele nu înseamnă că sunt „numere prime”, ci că nu au factori comuni în afară de 1.
Ele sunt utile în multe ramuri ale matematicii și ajută la înțelegerea fracțiilor, a codurilor și a algoritmilor.
Întrebări frecvente
Ce este un număr prim, de fapt?
Un număr prim este un număr natural mai mare decât 1 care are doar doi divizori: 1 și el însuși. Exemplu: 7 este număr prim pentru că se împarte doar la 1 și la 7.
Care este primul număr prim?
Primul număr prim este 2. Este și singurul număr prim par.
Este numărul 1 un număr prim?
NU. Deși 1 este un număr important, are un singur divizor (1), nu doi. Așa că nu intră în clubul numerelor prime
Cum se numesc celelalte numere care nu sunt prime?
Numerele care au mai mult de doi divizori nu sunt numere prime. Acestea se numesc numere compuse.
Exemplu: 6 nu este prim, pentru că se împarte la 1, 2, 3 și 6.
Exemplu 2: 8 nu este prim, pentru că se împarte la 1, 2 și 4
Există un număr par prim în afară de 2?
Nu. Toate celelalte numere pare se divid și cu 2, deci au mai mulți divizori.
Care sunt primele 10 numere prime?
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Există vreo formulă pentru a afla numerele prime?
Nu există o formulă simplă care să genereze doar numere prime, dar există algoritmi pentru a le testa (ex: testul Fermat, testul Miller-Rabin etc., pentru nivel avansat).
Ce sunt doi factori primi diferiți?
Doi factori primi diferiți spun că numărul se poate scrie ca un produs de două numere prime diferite.
Exemplu: 15 = 3 × 5 (ambii sunt primi și diferiți).
Ce este „sita lui Eratostene”?
Este o metodă veche și eficientă de a găsi toate numerele prime până la un anumit număr. Se elimină dintr-o listă toate multiplii numerelor găsite.
Există un număr infinit de numere prime?
Da! Matematicianul Euclid a demonstrat acum peste 2000 de ani că numerele prime sunt infinite.
Care este cel mai mare număr prim cunoscut?
Cel mai mare număr prim cunoscut până azi este:
2⁸²⁵⁸⁹⁹³³ – 1
Câteva detalii impresionante:
- Este un număr Mersenne, adică are forma 2ⁿ – 1
- A fost descoperit în decembrie 2018 prin proiectul GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search)
- Are 24.862.048 de cifre!
- Dacă l-ai scrie pe hârtie, ai avea nevoie de peste 9.000 de pagini A4 doar pentru acest număr!
Ce este un număr Mersenne?
Este un număr de forma 2ⁿ – 1, unde n este el însuși un număr prim. Nu toate aceste numere sunt prime, dar multe dintre cele mai mari numere prime descoperite sunt de acest tip pentru că:
- Se pot testa eficient cu calculatoare
- Se pot verifica prin algoritmi speciali (ex: testul Lucas-Lehmer)
