Triunghiul echilateral
Ce este triunghiul echilateral?
Triunghiul echilateral este forma geometrică ce emană simetrie perfectă. Este forma geometrică asociată foarte frecvent cu armonia și pacea, datorită egalităților și proprietăților sale.
Având toate cele trei laturi egale, triunghiul echilateral adună o multitudine de proprietăți speciale pe care nu le întâlnim la alte triunghiuri.
Triunghiul echilateral este poligonul cu trei laturi de lungimi egale.
Proprietățile triunghiului echilateral
- În triunghiul echilateral toate cele 3 laturi sunt congruente. Ex: △ABC: (AB = BC = AC)
- Toate cele 3 unghiuri din triunghiul echilateral sunt congruente și au măsura de 60°.
- Triunghiul echilateral are 3 axe de simetrie. Fiecare din acestea trece prin vârful și mijlocul laturii opuse.
- Centrul de greutate, înălțimea, mediana, mediatoarea și bisectoarea coincid pentru fiecare latură și vârf. Astfel ele se intersectează într-un punct central (centru sau centroid).
Perimetrul și aria
Semiperimetrul unui triunghi echilateral este egal cu jumătate din perimetru și este, de asemenea, egal cu raza cercului înscris. Acest lucru înseamnă că dacă notezi lungimea unei laturi ca S, atunci semiperimetrul este S/2 și raza cercului înscris este S/2.
Perimetrul se calculează folosind formula:
unde:
- l = lungimea laturii triunghiului echilateral
Aria se calculează folosind formula:
unde:
- l = lungimea laturii triunghiului echilateral
Teoreme esențiale în triunghiul echilateral
- Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi echilateral, toate cele trei laturi sunt egale, deci putem aplica teorema lui Pitagora pentru a găsi lungimea înălțimilor, mediatoarelor sau bisectoarelor.
- Teorema Cosinusului și Teorema Sinusului: Aceste teoreme pot fi aplicate în triunghiuri echilaterale pentru a găsi lungimile lateralelor și unghiurile, dar nu sunt la fel de utilizate ca în triunghiurile obișnuite din cauza simetriei și măsurilor unghiurilor egale.
- Teorema lui Fermat: Această teoremă afirmă că într-un triunghi echilateral ABC, punctele A, B și C sunt vârfurile unui triunghi echilateral dacă și numai dacă există un punct P în planul triunghiului astfel încât PA, PB și PC să fie lungimile laturilor unui triunghi echilateral.
Întrebări frecvente
Care este diferența dintre un triunghi dreptunghic și unul echilateral?
Triunghiul echilateral are toate cele 3 laturi egale pe când triunghiul isoscel are doar două dintre laturi egale. Acest lucru duce la o serie de proprietăți diferite cât și raporturi diferite.
-
Unghiurile: Într-un triunghi isoscel, unghiurile corespunzătoare la laturile egale sunt egale, în timp ce într-un triunghi echilateral, toate unghiurile interioare sunt egale și măsoară 60 de grade.
-
Simetrie: Un triunghi isoscel are o singură axă de simetrie, care este mediatoarea laturii de bază, în timp ce un triunghi echilateral are trei axe de simetrie, care sunt mediatoarele celor trei laturi egale.
-
Perimetrul și aria: Perimetrul unui triunghi isoscel este mai mic decât perimetrul unui triunghi echilateral de aceeași înălțime, deoarece unul dintre laturi este mai mic. De asemenea, aria unui triunghi isoscel este mai mică decât a unui triunghi echilateral de aceeași înălțime.
-
Centrul de greutate: Într-un triunghi isoscel, centrul de greutate se află pe linia de simetrie, la o treime de-a lungul mediatoarei bazei, în timp ce într-un triunghi echilateral, centrul de greutate este și centrul cercului circumscris și se află la intersecția mediatoarelor.
Ce este un triunghi echilateral?
Un triunghi echilateral este un tip de triunghi în care toate laturile sunt egale în lungime și toate unghiurile sunt congruente, având fiecare 60 de grade.
Care sunt proprietățile unui triunghi echilateral?
- Toate laturile sunt egale în lungime.
- Toate unghiurile sunt congruente și măsoară 60 de grade.
- Înălțimea, mediatoarele și bisectoarele coincid.
- Este un triunghi isoscel, echilateral și un triunghi echidiagonal.
Cum se calculează aria unui triunghi echilateral?
Formula pentru aria unui triunghi echilateral este:
unde "l" este lungimea unei laturi.
Cum se calculează perimetrul unui triunghi echilateral?
Perimetrul unui triunghi echilateral este de 3 ori lungimea unei laturi:
unde "l" este lungimea unei laturi.
Cum se găsesc înălțimea unui triunghi echilateral?
Înălțimea unui triunghi echilateral se poate calcula folosind teorema lui Pitagora sau folosind formula:
unde "l" este lungimea unei laturi.
Care este relația dintre raza cercului circumscris și latura triunghiului echilateral?
Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral este egală cu lungimea unei laturi împărțită la √3: R = l / √3.
Ce alte forme geometrice pot fi create folosind triunghiuri echilaterale?
Dacă aduni mai multe triunghiuri echilaterale, poți obține poligoane regulate, cum ar fi hexagonul sau poligonul cu 12 laturi (dodecagonul).
